Различные задачи для тренировки разума.

[_Zeb_]

Перед вами пять утверждений, три из которых являются ложными. Найдите их. 1+2=3. 2+3=5. 3+5=9. 5+9=14. 9+14=21.

Единственное, что могу предположить, это то, что ложным является еще и утверждение "Перед вами пять утверждений, три из которых являются ложными." Потому что иначе херня какая то получается 

[Shik]

_Zeb_,  Конечно!
Добавлено: [time]27 Ноября 2011, 10:38:59[/time]skytopper,

Почему резрезав верёвку в 10 см на три части мы получим отрезки конечной длины, а число 10 нацело разделить не можем?

Наверное, до меня условие туго доходит. Вот мы взяли веревку, разрезали на три равные части (то есть поделили 10 на три). Получилось три веревки, длина каждой равна примерно 3,3(3). Я все правильно понимаю?

число 10 нацело разделить не можем?

Так потому, что 10 на три нацело не делится  .

Не улавливаю сути вопроса. Есть два утверждения -

резрезав верёвку в 10 см на три части мы получим отрезки конечной длины

и

число 10 нацело разделить не можем

Подразумевается, что между ними какое то противоречие? Но ведь они никак не связаны между собой!

А, кажется, понял. Вопрос в том, почему при математическом действии получается бесконечная дробь, а на практике (в житейском плане) длина отрезков получается конечной?

Так на практике мы и разрезать не сможем на три абсолютно равных отрезка. Более того, мы и пополам не сможем точно разрезать. Всегда будет оставаться пусть и малая, но погрешность.
Добавлено: 27 Ноября 2011, 17:53:34На электронном табло отображается верное математическое равенство. Но один пиксел табло неисправен. Какой?

[Олег Пархомчик]

Это неверно.  Мы просто не можем точно посчитать их длину.

С чего вы взяли? Если длина конечна значит её точно можно посчитать. Или ответ из серии: Одеяло имеет температуры выше абсолютного нуля значит оно греет?

[Shik]

Marksman,  А с черепашками то как? СЕ правильно ответил? Я уже сдался, можно ответ в личку?
ВВС Аналогично, можно ответ про геометрию в личку? Думать уже силов нет ).
Добавлено: 27 Ноября 2011, 20:15:11Есть два шнура, горящих неравномерно (т.е. скорость горения произвольно меняется). Каждый сгорает за час. Как при помощи этих шнуров и зажигалки отмерить 45 минут?

[Олег Пархомчик]

Наверное, до меня условие туго доходит. Вот мы взяли веревку, разрезали на три равные части (то есть поделили 10 на три). Получилось три веревки, длина каждой равна примерно 3,3(3). Я все правильно понимаю?

Правильно. Но почему вы верёвку длиной в 10 см можете разделить на 3 части, а число 10 делится до бесконечности.

Так потому, что 10 на три нацело не делится  .

Не улавливаю сути вопроса. Есть два утверждения -

Поделите 10 на 3 нацело. Без дробей. Мне нужен конечный результат. а не 2/3.

А, кажется, понял. Вопрос в том, почему при математическом действии получается бесконечная дробь, а на практике (в житейском плане) длина отрезков получается конечной?

Правильно.

[metallgiver]

На электронном табло отображается верное математическое равенство. Но один пиксел табло неисправен. Какой?

в ответе должен быть факториал 7. верное выражение (71+1)*(71-1)=7!

[Олег Пархомчик]

Каждый сгорает за час.

Поджигаем 1-й шнур с 2 концов - получаем 30 мин., одновременно с 1-м шнуром поджигаем 2-й, и когда первый догорит до конца (это будет 30 мин), поджигаем 2-й шнур с другого конца. Получили 15 мин.
Добавлено: 27 Ноября 2011, 20:29:47Как можно честно обвешивать покупателя без обмана?

[Shik]

metallgiver, skytopper,  правильно 
Добавлено: [time]27 Ноября 2011, 21:46:23[/time]

Как можно честно обвешивать покупателя без обмана?

Находиться как можно ближе к полюсу, где центробежная сила вращения Земли минимальна. Тогда все тела будут весить больше, чем, например, на экваторе.

Добавлено: 27 Ноября 2011, 20:50:01В бассейн ведут две трубы: слив у дна и наполнение сверху. Пустой бассейн наполняется водой за 1 час. Полный бассейн полностью спускается за 20 минут. За сколько полностью спустится полный бассейн, если две трубы открыты одновременно.

[Shik]

Думаю, за 30 мин.

СЕ, конечно, это не верный ответ. Обратите внимание, что условие задачи отличается от стандартой задачи "в бассейн вливается х литров в минуту, а выливается y литров в минуту", как в школе нам задавали.

[Наташа]

С чего вы взяли. что Перельман - физик, как раз - математик, а вот сын - на стыке получается...
Одну итальянскую студентку спросили на экзамене: "Как вам известно, точка кипения прованского масла выше, чем точка плавления олова. Объясните, почему можно жарить пищу на прованском масле в луженой оловом кастрюле". (Лучшая посуда в Италии - медная с оловянной полудой).

[_Zeb_]

Ну, воду тоже можно в бумажном пакетике кипятить...

[Marksman]

Объясните, почему можно жарить пищу на прованском масле в луженой оловом кастрюле

Потому что для жарки яичницы масло должно быть жидким, а не газообразным.

Простенькая задачка от моей дочери:
У двух мегамозгов есть слоеный (т.е. горизонтально резать нельзя) прямоугольный торт, из которого какой-то гад, к сожалению, уже вырезал (и съел) прямоугольный кусок. Ориентация и положение вырезанного куска могут быть совершенно произвольными. Как разделить оставшийся торт на две равные по объему части одним прямолинейным разрезом?

На решение - 1 минута. Для шибко умных - задачу можно усложнить до торта и отверстия произвольной формы.

[_Zeb_]

Marksman,

За минуту пришло на ум только "если тебе дадут линованую бумагу - пиши поперек". Я бы его горизонтально бы разрезал.

[Shik]

Как разделить оставшийся торт на две равные по объему части одним прямолинейным разрезом

За минуту не уложился, т.к. стал чертить различные варианты. Минут 10 чертил ).

Нужно соединить прямой линией центр торта и центр сожранного куска.

[Marksman]

_Zeb_, я Брэдбери тоже люблю  , а вот Хименеса, к сожалению, не читал.
Прав Shik.

А центры тяжести находятся как пересечение диагоналей.

[_Zeb_]

Ну, если мы учтем, что "на глазок" определить "центр торта" и, тем более, "центр вырезанного куска" ненамного проще (если проще), чем толщину торта... Думаю, мой вариант (по крайней мере на практике), тоже может пригодиться. 
Ну а так то да, геометрию я не очень, хотя в школе по ней были всегда пятерки, но я ее все равно не любил. А в институте ее, собственно, и не было, и это было замечательно.

Добавлено: 28 Ноября 2011, 13:23:21И, да, со многими произведениями я знаком больше, когда они служат эпиграфами, или встречаются внутри других произведений. 

[Marksman]

_Zeb_, у меня по оффтопом же написано, как строится "центр".

Кстати, вот простейшая задачка, тоже со школы. Как определить центр тяжести произвольной плоской детали? Например, листа картона произвольной формы.

Мне тут дочь ещё одну задачку сегодня подбросила, но пока мне думать некогда, так что решения не знаю:

К картине обоими концами прикреплена длинная веревка. Необходимо повесить картину на стену с помощью N гвоздей так, чтобы при вытаскивании любого гвоздя картина и веревка падали. Как это сделать?

[_Zeb_]

Ой, если задачка без подколов (к примеру повесить все на один гвоздь, а остальные забить рядом), то здесь сильно попахивает топологией. А в ней я совсем не силен...

[Shik]

Где то видел это задачу. Вспомнить бы, как она решается..

[Олег Пархомчик]

Находиться как можно ближе к полюсу, где центробежная сила вращения Земли минимальна. Тогда все тела будут весить больше, чем, например, на экваторе.

Только весы и гири надо тарировать на экваторе. Иначе бесполезно.

[Shik]

Предлагаю как то собрать пока нерешенные задачи, дабы не потерялись.

1.Задача от Marksman'а

Имеем на плоскости квадрат со стороной a. В углах квадрата находятся черепахи, которых мы пронумеруем "по кругу" от 1-й до 4-й.
В некоторый момент времени T0 черепахи начинают ползти с постоянной скоростью V.
Ползут они так, что в каждый момент 1-я черепаха ползёт по направлению к 4-й, 2-я черепаха - по направлению к 1-й, третья черепаха - по направлению к 2-й, 4-я черепаха - по направлению к третьей.
Очевидно, что через какое-то время они встретятся. Каково это время?

Вроде СЕ дал ответ

В общем так: движение черепах будет по логарифмической спирали, где путь R=1/2r*a. следовательно Т=R/v=1.57*a/v. (примерно)

Но ответа от Marksman'а не последовало, следовательно, не верно?

2. Задача от ВВС про геометрию. См. пост 39.

3. От USR вариант задачи от _ZEB_ (пост 40):

А если усложнить задачу:

Имеется 10 мешков монет, по 1000 монет в каждом. вес нормальной 20 гр. Вес фальшивой  19 грамм. КАКИЕ-ТО мешки содержат только фальшивые монеты, КАКИЕ-ТО только настоящие.

Как за одно взвешивание на электронных весах определить мешки с фальшивыми монетами?

4. Задача от skytopper.

Берём верёвку в 10 см. Режем на три части. Три части можно измерить. Но 10 на три не делится. Где подвох?

5. От него же:

Как можно честно обвешивать покупателя без обмана?

6. Задача от Shik:

В бассейн ведут две трубы: слив у дна и наполнение сверху. Пустой бассейн наполняется водой за 1 час. Полный бассейн полностью спускается за 20 минут. За сколько полностью спустится полный бассейн, если две трубы открыты одновременно?

7. Опять от Marksman'а

К картине обоими концами прикреплена длинная веревка. Необходимо повесить картину на стену с помощью N гвоздей так, чтобы при вытаскивании любого гвоздя картина и веревка падали. Как это сделать?

[Marksman]

Берём верёвку в 10 см. Режем на три части. Три части можно измерить. Но 10 на три не делится. Где подвох?

А в чём проблема?
Задача о делении отрезка на три решается довольно просто.
С верёвкой всё ещё проще. Сложить верёвку втрое - тривиальная задача.
Это в случае, если верёвку надо разрезать на равные части, хотя требования равенства частей в условии задачи нет.
Если надо разрезать на неравные части, то резать можно как угодно, например, 8+1+1.
Добавлено: [time]29 Ноября 2011, 10:54:46[/time]

В бассейн ведут две трубы: слив у дна и наполнение сверху

Можно подтянуть закон Бернулли. Там, кажется, скорость вытекания пропорциональна квадратному корню из высоты столба. Конечно, при условии отсутствия гидродинамического сопротивления трубы, через которую вытекает.
Уравнение сейчас писать некогда...
Добавлено: 29 Ноября 2011, 09:03:00

Имеем на плоскости квадрат со стороной a. В углах квадрата находятся черепахи,

Задачка была на олимпиаде по математике.
Я предложил такое решение:
Задача совершенно симметрична относительно центра квадрата.
Встаём в центр квадрата, то есть в цент квадрата (точку симметрии) помещаем начало (декартовых) координат.
Смотрим всё время на одну из черепах. То есть поворачиваем нашу систему координат вслед за черепахой (угловая скорость будет зависеть от времени, но это пофиг). Тогда в этой вращающейся системе координат черепахи будут непрерывно двигаться по стороне квадрата, начальная длина которого а, а конечная - ноль.
Следовательно, каждая черепаха проползёт расстояние а и встретятся они в центре через время t=a/v

[Shik]

Можно подтянуть закон Бернулли. Там, кажется, скорость вытекания пропорциональна квадратному корню из высоты столба. Конечно, при условии отсутствия гидродинамического сопротивления трубы, через которую вытекает.Уравнение сейчас писать некогда...

Ну да, все правильно. Уравнение не нужно. В общем, Вы правильно ответили - чем ниже уровень воды, тем медленнее вода будет вытекать и на определенном уровне скорость вытекания сравняется со скоростью наполнения. Так что бассейн никогда не спустится. В общем, задачу можно считать решенной.

Следовательно, каждая черепаха проползёт расстояние а

Блин, подозревал это, но сформулировать не смог (.

[_Zeb_]

3. От USR вариант задачи от _ZEB_ (пост 40):

А если усложнить задачу:

Имеется 10 мешков монет, по 1000 монет в каждом. вес нормальной 20 гр. Вес фальшивой  19 грамм. КАКИЕ-ТО мешки содержат только фальшивые монеты, КАКИЕ-ТО только настоящие.

Решение, по моему, аналогичное первой задаче. Просто надо взять такое количество монет из каждого мешка, чтоб результат взвешивания позволил однозначно определить номер мешка. С учетом разницы веса всего в 1 грамм - что может быть лучше и проще чем старые добрые степени двойки? Из первого мешка 1 монетка, потом 2, 4, 8, 16... 512 монеток из десятого мешка. Если все монетки во всех мешках настоящие - вес должен быть 200 000 грамм.
Если по результатам взвешивания недостача, например, в 14 грамм - фальшивые монетки во 2, 3 и 4 мешках... 128 граммовая недостача однозначно укажет нам на мешок №8, а 136 граммовая на мешки 8 и 4...
Ну да кому я тут объясняю 

Хм, а получается, что если разница в была бы в 2 грамма, то чтобы перебить возможные совпадения, надо было бы идти по степеням тройки? Тогда бы нам просто монет в 10 мешке не хватило бы... Или я где то ошибаюсь?

[Shik]

_Zeb_,  Да, красивое и простое решение  .

И насчет разницы в два грамма тоже вроде верно. Щас прикинул на четырех мешках - вроде правильно, пересечений нет.
Добавлено: 29 Ноября 2011, 11:32:03Пропустил еще одну задачу от Marksman'а:

Как определить центр тяжести произвольной плоской детали? Например, листа картона произвольной формы.

Честно говоря, у меня тут возникают ассоциации с интегральным счислением. Будет время, попробую порешать.

[Marksman]

Как определить центр тяжести произвольной плоской детали? Например, листа картона произвольной формы.

Задачка школьная.
Подвешиваем плоскую фигуру за любую точку на краю и по отвесу проводим вертикальную прямую.
Потом подвешиваем за любую другую точку и проводим ещё одну вертикальную линию.
Точка пересечения - центр тяжести. Должно работать и для многосвязных областей.

[ВВС]

ВВС Аналогично, можно ответ про геометрию в личку? Думать уже силов нет ).

Ответ или вопрос? Ответ кладите здесь, вопрос можно тоже. От кого что скрывать?

Добавлено: 29 Ноября 2011, 23:04:14

Предлагаю как то собрать пока нерешенные задачи, дабы не потерялись.

А что, задачу про шары в термостатах кто-то решил?

[Shik]

В термостатах одинаковые анизотропные шары. Один лежит на абсолютно теплоизолирующей подставке, второй висит на абсолютно теплоизолирующей нити. За одинаковое время к шарам подводится одинаковое количество теплоты. Какой нагреется больше?

Предположение. Второй нагреется больше, т.к. первый при нагреве и расширении от нагрева будет тратить часть энергии на преодоление силы гравитации.

Добавлено: [time]30 Ноября 2011, 12:15:51[/time]

Ответ или вопрос? Ответ кладите здесь, вопрос можно тоже. От кого что скрывать?

Можно в личку правильное решение? Чтобы остальным не обломать кайф от решения?
Добавлено: 30 Ноября 2011, 11:56:18

А я помню у писателя Казанцева есть рассказ как раз про эту задачу "Шахматы на дне колодца"

_Zeb_, личная просьба. Там в рассказе есть шахматный этюд, но в инете я не нашел ни одного варианта с рисунками. Есть у Вас возможность как то этот расклад опубликовать? Ну или начальную расстановку? Очень интересно посмотреть.

[Сергей Евгеньевич]

Ребята, вы что, насчет бассейна, совсем здравый смысл потеряли?
Я настаиваю, что практически при ЛЮБЫХ условиях, бассейн опустошится за 30 мин.
.

[_Zeb_]

Там в рассказе есть шахматный этюд, но в инете я не нашел ни одного варианта с рисунками. Есть у Вас возможность как то этот расклад опубликовать? Ну или начальную расстановку? Очень интересно посмотреть.

К сожалению нет.  Я этот рассказ в библиотечной книжке в молодости прочитал, там то да, с рисунками - но их я не запомнил.. А сейчас просто из интернета скачал текстовку