Различные задачи для тренировки разума.

[metallgiver]

задачко.
Представьте себе, что внутри большой окружности катится маленькая, диаметр которой ровно в два раза меньше.
На маленькой окружности есть красная точка.
Попробуйте в уме представить - по какой траектории она будет двигаться? По кругу? По спирали?

[_Zeb_]

metallgiver,
чото у меня с синих глаз крест нарисовался.... да не... ну да...
Добавлено: [time]02 Декабря 2011, 17:00:31[/time]с другой стороны, с чего ему вбок прыгать? Да ну нафиг... Вверх-вниз что ли? Не...
Добавлено: 02 Декабря 2011, 17:01:40глупо как то

[ВВС]

metallgiver, http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0 - по гипоциклоиде.
При k = R/r = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности. Так как радиус катящейся окружности вдвое меньше радиуса неподвижной, то длина окружности так же вдвое меньше. То есть при прохождении катящейся окружностью дуги в четверть круга красная точка дойдет до касания с неподвижной окружностью, будет внизу. После следующей четверти круга она "вернется на место", потом пойдет вверх - и обратно. Будет двигаться по вертикальному диаметру. Если взять противоположную точку, которая в условиях задачи есть точка касания окружностей, - то она будет двигаться по горизонтальному диаметру.

[Shik]

ВВС уже ответил.

[ВВС]

Shik, пишите в личку, хотя остальные явно сдались

[Shik]

ВВС, Ок.

К берегу реки подошли три мужчины, каждый — со своей девушкой. У них есть одна надувная лодка, которая может выдержать только двух человек. Каждый мужчина страшно ревнив и не может допустить, чтобы его девушка без него находилась в компании другого мужчины. Считается, что два человека находятся в одной компании, если они имеют возможность пообщаться, даже если один из них при этом находится в лодке, а другой — на берегу. Как им переправиться на другой берег?
Добавлено: 02 Декабря 2011, 18:55:06Еще

Почему, когда мы едем в поезде, колеса стучат реже, чем если мы стоим на платформе, а поезд проезжает мимо?

[Балу]

metallgiver, - по гипоциклоиде.
При k = R/r = 2 ......

По гипоциклоиде она вроде будет двигаться если k равно или больше 3.
А если k=2, красная точка должна двигаться по прямой вверх-вниз, вроде...

По поводу задачи ВВС с шарами...
Все будет зависеть от точки подвода тепла и в какой момент времени измеряется температура шаров.
Поскольку один шар свободно подвешен, а второй лежит по-сути на тепловом экране, изначально мешающем нагреву, а затем мешающий охлаждению.

[metallgiver]

Балу, ВВС, ответ правильный



вот как то так.

[ВВС]

К берегу реки подошли три мужчины, каждый — со своей девушкой. У них есть одна надувная лодка, которая может выдержать только двух человек. Каждый мужчина страшно ревнив и не может допустить, чтобы его девушка без него находилась в компании другого мужчины. Считается, что два человека находятся в одной компании, если они имеют возможность пообщаться, даже если один из них при этом находится в лодке, а другой — на берегу. Как им переправиться на другой берег?

Последнее условие (про правила зачета компании) сводит все предыдущее на нет. Поясните.
Вариант:
__Лодка__Исходный берег____Конечн_______Обратно
1) Д1Д2___М1М2М3Д3_________Д1___________Д2
2) Д2Д3___М1М2М3___________Д1Д2_________Д3
3) Д3М3___М1М2_____________Д1Д2Д3М3_____Д2
4) Д2М2___М1_______________Д1Д2Д3М2М3___Д1
5) Д1М1____________________Д1Д2Д3М1М2М3_ 

Можно поручить мужчинам  .
Укажите, если есть невыполнение условий.

Почему, когда мы едем в поезде, колеса стучат реже, чем если мы стоим на платформе, а поезд проезжает мимо?

Когда мы неподвижны, частота стука на одном стыке определяется расстоянием между осями. Когда в поезде, мы слышим стук колес "своего" вагона, и частота определяется расстоянием между стыками, которое гораздо больше расстояния между осями.
Можно обратить внимание, что тон стука набегающего поезда выше тона стука удаляющегося - эффект Допплера (сумма и разность скорости поезда со скоростью звука в воздухе).
Добавлено: 03 Декабря 2011, 00:29:02

По поводу задачи ВВС с шарами...
Все будет зависеть от точки подвода тепла и в какой момент времени измеряется температура шаров.
Поскольку один шар свободно подвешен, а второй лежит по-сути на тепловом экране, изначально мешающем нагреву, а затем мешающий охлаждению.

Пусть координаты точек подвода тепла на поверхности одинаковых анизотропных шаров одинаковы.

[Балу]

Пусть координаты точек подвода тепла на поверхности одинаковых анизотропных шаров одинаковы.

Не важно, одинаковы ли они! Важно насколько эта точка близка к изолирующей поверхности, на которой лежит второй шар.

Балу, ВВС, ответ правильный

Ну только ВВС перепутал 2 и 3, и не знал, что гипоциклоида - это кривая 

К берегу реки подошли три мужчины, каждый — со своей девушкой.

А в чем проблема?
М1 перевозит Д1, возвращается, берет М2, перевозит, высаживается сам.
М2 возвращается, берет Д2, перевозит, возвращается, берет М3....

Почему, когда мы едем в поезде, колеса стучат реже, чем если мы стоим на платформе, а поезд проезжает мимо?

Звукоизоляция вагона. Сопровождение слабых звуков стука колес вибрацией, что повышает порог их восприятия...
Ну а на платформе мы слышим звуки от нескольких вагонов. 

[Shik]

Последнее условие (про правила зачета компании) сводит все предыдущее на нет. Поясните.

К примеру, лодка причалена к берегу. В этом случае те, кто в лодке и те, кто на этом же берегу, находятся в одной компании.

Т.о., в пункте 3 у Вас нарушение условия - переплыв на другой берег, М3 будет в компании с Д1 и Д2.

А в чем проблема?М1 перевозит Д1, возвращается, берет М2, перевозит, высаживается сам.М2 возвращается, берет Д2, перевозит, возвращается, берет М3....

Когда М2 уплывет с М1, Д2 будет в компании с М3 одна, без мужика.
Добавлено: [time]03 Декабря 2011, 12:41:44[/time]

Когда мы неподвижны, частота стука на одном стыке определяется расстоянием между осями. Когда в поезде, мы слышим стук колес "своего" вагона, и частота определяется расстоянием между стыками, которое гораздо больше расстояния между осями.

Да.
Добавлено: 03 Декабря 2011, 15:54:42Геометрическая задача о нахождении угла от ВВС и задача Marksman'a о веревке и картине никак не даются. Прошу, если можно, написать ответ в личку.Честно признаюсь - сдался. Другим мешать в решении не буду, обещаю ).

[metallgiver]

Ну только ВВС перепутал 2 и 3, и не знал, что гипоциклоида - это кривая

не согласен. цитирую

Так как радиус катящейся окружности вдвое меньше радиуса неподвижной, то длина окружности так же вдвое меньше. То есть при прохождении катящейся окружностью дуги в четверть круга красная точка дойдет до касания с неподвижной окружностью, будет внизу. После следующей четверти круга она "вернется на место", потом пойдет вверх - и обратно. Будет двигаться по вертикальному диаметру

важную часть я выделил. Так что ответ ВВС правильный.

[ВВС]

от Marksman'а

К картине обоими концами прикреплена длинная веревка. Необходимо повесить картину на стену с помощью N гвоздей так, чтобы при вытаскивании любого гвоздя картина и веревка падали. Как это сделать?

Не вижу в условии N>1. При N=1 условия выполняются

Не важно, одинаковы ли они! Важно насколько эта точка близка к изолирующей поверхности, на которой лежит второй шар.

Начинается... как среди любителей истории. Неважно это все. Точек подвода нет, тепло подводится за счет теплопередачи от среды, которой заполнены термостаты. Количество теплоты одинаковое. Тепло не подводится и не отводится только через одну точку у каждого шара - точку крепления к нити и касания к пластине.

Геометрическая задача о нахождении угла

Предлагаю закончить самостоятельно:

Добавлено: [time]04 Декабря 2011, 15:19:35[/time]

[Shik]

Что то ветка заглохла, а между тем некоторые задачи так и не решены.
Попытаюсь обновить.

1. Задача Marksman'a про веревку и картину -
Как повесить картину на n гвоздей (очевидно, n>1) так, что бы при вытаскивании любого гвоздя картина падала.

2. Задача от ВВС про треугольник и нахождение угла (частично решение он дал, осталось провести преобразования).

3. Задача про преправу 6 человек.

К берегу реки подошли три мужчины, каждый — со своей девушкой. У них есть одна надувная лодка, которая может выдержать только двух человек. Каждый мужчина страшно ревнив и не может допустить, чтобы его девушка без него находилась в компании другого мужчины. Считается, что два человека находятся в одной компании, если они имеют возможность пообщаться, даже если один из них при этом находится в лодке, а другой — на берегу. Как им переправиться на другой берег?

Если есть еще какие то - пишите.

Вот еще недавно попалась:

"Что длиннее: летящий самолет или его полная тень? Под полной тенью понимается участок земли, на который не падает ни одного прямого солнечного луча. Самолет летит горизонтально, день солнечный."

[ВВС]

2. Задача от ВВС про треугольник и нахождение угла (частично решение он дал, осталось провести преобразования).

Вы до сих пор не провели?

"Что длиннее: летящий самолет или его полная тень? Под полной тенью понимается участок земли, на который не падает ни одного прямого солнечного луча. Самолет летит горизонтально, день солнечный."

Самолет будет длиннее своей тени, если его угловой размер (для наблюдателя, у ног которого пролетает тень) будет меньше углового размера солнечного диска (32 угловых минуты). Точнее смогу ответить после оценки высоты Солнца над гризонтом

[Shik]

Вы до сих пор не провели?

Пока нет. А нужно? Хотя... sin4a=sin2a+sina и без тригонометрии... Пока не знаю...
Вот, например "квадрат синуса + квадрат косинуса равен 1" - это тригонометрия или нет?

Самолет будет длиннее своей тени, если его угловой размер (для наблюдателя, у ног которого пролетает тень) будет меньше углового размера солнечного диска (32 угловых минуты).

Да, правильно.

[ВВС]

Пока нет. А нужно? Хотя... sin4a=sin2a+sina и без тригонометрии... Пока не знаю...
Вот, например "квадрат синуса + квадрат косинуса равен 1" - это тригонометрия или нет?

Понимаю Вас. Я выразился не совсем точно. Без тригонометрии значит без приближенных вычислений тригонометрических функций. Доказательства тригонометрических тождеств допустимо.
К задаче о самолете:

[Shik]

Ну так это равенство не верное.

Например, при a=pi/4 получаем sinpi=sinpi/2+sinpi/4
т.е. 0=1+sqr(2)/2

Но, если a близко к 0, то в первых числах будет равенство, да.

[ВВС]

Ну так это равенство не верное.

решите уравнение (при каких значениях аргумента равенство выполняется)

Добавлено: 14 Декабря 2011, 05:49:11

картину на n гвоздей (очевидно, n>1)

Откуда это "очевидно"?

[Олег Пархомчик]

Не вижу в условии N>1. При N=1 условия выполняются

При N=2 Тоже выполняется.

[Shik]

Откуда это "очевидно"?

При n=1 задача вырождается и теряет смысл.

При N=2 Тоже выполняется.

Можно поподробнее?
Добавлено: 14 Декабря 2011, 10:10:49

решите уравнение (при каких значениях аргумента равенство выполняется)

Ну да, правильно. Решил. Свелось все в итоге к кубическому уравнению вида 8x^3-6x+1=0.
Получилось три решения - a=20, a=40, a=80. Но условию sin4a=sin2a+sina удовлетворяет только a=20 градусов.

Спасибо за интересную задачу, аж школу с универом вспомнил  .

[Олег Пархомчик]

Можно поподробнее?

Два гвоздя вбиваются рядом друг с другом так, чтобы верёвка вошла между ними с небольшим усилием (ну или чтобы картина не падала, можно сверху завязать узелок:)) При вытаскивании любого гвоздя картина падает. Хотя задачу можно полностью исказить: бесконечная стена, падение есть движение на 2 мм, должна ли коснуться картина пола.

С тремя пока не представил.

[Shik]

Два гвоздя вбиваются рядом друг с другом так, чтобы верёвка вошла между ними с небольшим усилием (ну или чтобы картина не падала, можно сверху завязать узелок:)) При вытаскивании любого гвоздя картина падает. Хотя задачу можно полностью исказить: бесконечная стена, падение есть движение на 2 мм, должна ли коснуться картина пола.

Да, интересный вариант ). Про узелок, IMHO, не верно, а вот то, что можно два гвоздя вбить так, чтобы между ними с трудом проходила веревка (удвоенная) - очень даже.
Кстати, тогда можно вбить и три, и 4 и т.д. гвоздей в ряд и провести веревку "змейкой".
Главное, расчитать силу трения так, чтобы картина держалась едва-едва. Тогда при вытаскивании любого гвоздя сила трения уменьшается и...

[Олег Пархомчик]

Кстати, тогда можно вбить и три, и 4 и т.д. гвоздей в ряд и провести веревку "змейкой".Главное, расчитать силу трения так, чтобы картина держалась едва-едва. Тогда при вытаскивании любого гвоздя сила трения уменьшается и...

В этом случае всё зависит от веса картины.

Про узелок, IMHO, не верно

Ну узелок если сила трения не удержит картину.

[Shik]

В этом случае всё зависит от веса картины.

Ну, на любой вес картины можно подобрать соответсвующую силу сопротивление и, следовательно, расстояние между гвоздями.
Кстати, в условии не сказано, имеется ли ввиду идеальная веревка (т.е. имеющая сопротивление=0). Так что, возможно, это и есть решение.

Хотелось бы, чтобы Marksman как то прокомментировал.

[Marksman]

Хотелось бы, чтобы Marksman как то прокомментировал.

Я же ещё в первом посте сказал, что задачку мне подкинула дочь и решения я не знаю.
На тот момент, когда она мне написала эту задачку, она тоже не знала ответа.
Допускаю, что корректного решения вообще , а в задачке какая-то наколка.
Сегодня её спрошу. Самому сейчас думать просто некогда. Что-то последние недели всяких дел слишком много... 

Кстати, у меня есть очень умный племянник. Недавно, на его дне рождения, я задал ему задачку про двух пастухов, стадо овец и деление денег по-ковбойски. Он решение выдал примерно через полторы секунды

[_Zeb_]

Допускаю, что корректного решения вообще , а в задачке какая-то наколка.

Думаю ответ есть.
Помню у Перельмана был описан фокус похожий - два пальца обматывались платком, потом один палец вынимался из петли, а потом платок "прорезал" второй палец. Объяснение там было из разряда "петли при вынимании одного пальца взаимоуничтожаются".

[Олег Пархомчик]

Думаю ответ есть. Помню у Перельмана был описан фокус похожий - два пальца обматывались платком, потом один палец вынимался из петли, а потом платок "прорезал" второй палец. Объяснение там было из разряда "петли при вынимании одного пальца взаимоуничтожаются".

Подобный фокус в книжке Гарднера читал. Про карандаш и соломинку. Наматывал как писали. Ничего не получилось.

[Marksman]

Помню у Перельмана был описан фокус похожий - два пальца обматывались платком,

Мы ещё с детства баловались всяким "колыбелями для кошки".
Один из вариантов простейшего фокуса с верёвочной петлёй, которая хитрым образом надевалась на пять (четыре,  три) пальцев, а снималась одним движением.
Сейчас попробовал, но руки не вспомнили 
---------------
Попробовал ещё раз с закрытыми глазами. Ага. руки вспомнили. Но как применить это к решению задачи - не знаю. А думать пока некогда. 

[_Zeb_]

3. Задача про преправу 6 человек.

Кажется решил. Кстати, такие жесткие условия как раз и подсказали решение - вариантов мало очень.
Поскольку лодка, причалившая к берегу тоже будет включена в "круг общения" я ее не рассматриваю как отдельную локацию, но смайликом буду отмечать, на каком она берегу. Кого она перевозит каждый раз, мне кажется понятно будет из состава сторон

Берег1                                                  Берег2
М1 М2 М3 
Д1 Д2 Д3

М2 М3                                                 М1
Д2 Д3                                                      Д1

М1 М2 М3                                             
Д2 Д3                                                    Д1


М1 М2 М3                                         Д1 Д2 Д3

М1 М2 М3 
Д1                                                         Д2 Д3

М1                                                    М2 М3
Д1                                                         Д2 Д3

Вот тут я задумался, лодка то на "правом" берегу, так бы задача решилась следующим ходом. Но едем дальше

М1 М2                                                М3
Д1 Д2                                                     Д3

                                                        М1 М2 М3
Д1 Д2                                                                Д3

Д1 Д2 Д3                                           М1 М2 М3

Очень похоже на ситуацию в ходе 3, только стороны местами поменялись. А это значит многое, потому как мужики возражают, если их жена без них в другой компании, а женам то на это как то все равно... Поэтому дальше уже просто

                                                         М1 М2 М3
Д1                                                               Д2 Д3

И за последней девушкой может ехать или ее муж, или одна из девушек (оставшаяся будет в компании своего мужа, поэтому он вроде как не будет возражать), но для симметрии

М1                                                        М2 М3
Д1                                                             Д2 Д3

Вот такая вот позиция уже была, но лодка тогда была на "правом берегу, а теперь на "левом"
Соответственно следующим ходом

                                                           М1 М2 М3
                                                                Д1 Д2 Д3

(тут зрители аплодируют, аплодируют... кончили аплодировать)